Álgebra Conmutativa Computacional
Gran parte de la matemática se basa en plantear y resolver ecuaciones de distinto tipo. La geometría algebraica es la rama que se ocupa de las soluciones de sistemas de ecuaciones polinomiales. El conjunto de soluciones de estos sistemas se llama variedad algebraica y nuestro objetivo en este curso será estudiar esos conjuntos y describirlos como la unión de conjuntos lo más simple posible.
El correspondiente algebraico al concepto geométrico de variedad es el de ideales en anillos de polinomios. Las herramientas computacionales actuales nos permiten trabajar con ejemplos concretos de ideales y realizar operaciones con ellos. Una herramienta comúnmente utilizada son las llamadas bases de Gröbner, conjuntos especiales de generadores de un ideal de polinomios, que pueden verse como una generalización de la eliminación de Gauss en sistemas lineales. Las clases se realizarán en un laboratorio de computación, y usaremos los software de álgebra computacional Singular y Maple, con los que realizaremos una gran cantidad de ejemplos y ejercicios.
UNIDAD 1 - Ideales y variedades. Monomios y polinomios. Órdenes monomiales. Ideales y variedades. Ideales primos y variedades irreducibles. Bases de Gröbner.
UNIDAD 2 - Operaciones con ideales. Suma, producto e intersección de ideales. Eliminación de variables. Resolución de sistemas de ecuaciones polinomiales con un conjunto finito de soluciones.
UNIDAD 3 - Descomposición de ideales y variedades Ideal radical. Primos asociados de un ideal. Descomposición primaria.
UNIDAD 4 - Normalización de anillos. Elementos enteros y extensiones finitas. Clausura entera. Criterio de Grauert-Remmert. Series de Puiseux.
Requisitos: Haber realizado un primer curso de Álgebra Lineal. No se requieren conocimientos computacionales.
Forma de evaluación: para aprobar el curso se deberá realizar un examen práctico final individual.
Bibliografía:
- D. Cox, J. Little, and D. O’Shea. Ideals, Varieties and Algorithms. Springer, 1996.
- G.-M. Greuel and G. Pfister. A Singular introduction to commutative algebra. Springer, Berlin, extended edition, 2008.
- S. Laplagne. An algorithm for the computation of the radical of an ideal. In ISSAC ’06: Proceedings of the 2006 international symposium on Symbolic and algebraic computation.
- Gert-Martin Greuel, Santiago Laplagne, and Frank Seelisch. Normalization of rings. J. Symbolic Comput., 45(9):887–901, 2010.
- J. Boehm, W. Decker, S. Laplagne, G. Pfister. Computing integral bases via localization and Hensel lifting. Journal of Symbolic Computations (2022).