Álgebras de Conglomerado y aplicaciones a teoría de números
Este curso estudiaremos uno de los desarrollos recientes más interesantes en combinatoria algebraica, la teoría de álgebras de conglomerado de Fomin y Zelevinsky. Las álgebras de conglomerado son una clase de anillos conmutativos definidos de forma combinatoria que proporcionan una estructura unificadora para fenómenos en una variedad de contextos algebraicos y geométricos. En particular los generadores de las álgebras de conglomerado provenientes de superficies se pueden representar mediante curvas en una superficie con una estructura métrica hiperbólica. Estos casos se han relacionado recientemente con problemas combinatorios y con conjeturas en teoría de números.
UNIDAD 1 - Total positividad. Definición y ejemplos. Propiedades.
UNIDAD 2 - Álgebras de conglomerado provenientes de superficies. Clasificaciones. Tipos finitos y de mutación finitos.
UNIDAD 3 - Grafos de serpiente y fracciones continuas.
UNIDAD 4 - Números de Markov y el espectro de Lagrange. Aplicaciones de las álgebras de conglomerado.
Bibliografía:
- S. Fomin, L. Williams and A. Zelevinsky. Introduction to Cluster Algebras. Chapters 1-7 (arXiv:1608.05735)
- R. Schiffler. Cluster Algebras from surfaces. Lecture notes for the CIMPA School 2016. Homological Methods, Representation Theory, and Cluster Algebras, CRM Short Courses, Springer, 2018.
- B. Marsh. Lecture Notes on Cluster Algebras. EMS Press.
- K.Lee, L. Li, M. Rabideau, R. Schiffler. On the ordering of the Markov numbers. Advances in Applied Mathematics Vol. 143, 2023.