Homología persistente y aplicaciones
Ideas y herramientas de topología algebraica y combinatoria se han vuelto cada vez más relevantes en áreas computacionales y aplicadas de matemática y otras ciencias. Este curso proporcionará una introducción a los conceptos principales de la teoría de homología persistente para el análisis de datos y explorará aplicaciones de la teoría a distintos problemas interdisciplinarios.
A lo largo del curso, los participantes aprenderán a:
- Construir y analizar complejos simpliciales a partir de datos.
- Entender y calcular grupos de homología.
- Aplicar conceptos de homología persistente para estudiar la estructura y las características de datos complejos.
- Utilizar algoritmos y software especializado.
- Implementar aplicaciones prácticas de la homología persistente en distintos problemas de análisis de datos.
UNIDAD 1 - Complejos simpliciales, filtraciones y nubes de puntos
Introducción a la topología combinatoria. Complejos simpliciales. Nubes de puntos y filtraciones a partir de espacios métricos finitos (Cech, Vietoris-Rips, Delaunay). Aproximación homotópica: Teorema del Nervio, teorema de Weinberger-Smale-Niyogi.
UNIDAD 2 - Homología y persistencia
Definición de homología simplicial, funtorialidad. Ejemplos y cálculo de grupos de homología. Módulos de persistencia. Introducción a la homología persistente. Teorema de Estructura y barcodes. Teorema de Estabilidad. Teorema de Convergencia. Ejemplos y cálculo de homología persistente.
UNIDAD 3 - Cálculo de homología persistente y aplicaciones
Algoritmos y software para cálculo de homología persistente. Demostración de código. Aplicaciones prácticas: Análisis de datos a partir de modelos topológicos. Aplicaciones a sistemas dinámicos, medicina, neurociencia, biología, entre otros.
UNIDAD 4 - Evaluación y cierre
Resolución y presentación oral de ejercicios prácticos, hands-on en problemas de análisis de datos. Cierre con problemas abiertos del área y potenciales aplicaciones futuras.
Requisitos: Se requiere manejo de nociones básicas de álgebra lineal, espacios métricos, probabilidad y álgebra. Serán útiles conocimientos de topología, combinatoria y topología algebraica, pero no es excluyente. También manejo básico de Python.
Forma de evaluación: La evaluación del curso se basará en una combinación de los siguientes componentes:
- Ejercicios prácticos: Los participantes deberán completar una serie de ejercicios prácticos al final de cada día. Estas tareas estarán diseñadas para reforzar los conceptos aprendidos y aplicar las técnicas discutidas en clase.
- Proyecto final: Al finalizar el curso, los estudiantes trabajarán en grupos en un mini proyecto final. Este proyecto consistirá en la aplicación de la homología persistente a un conjunto de datos real o simulado, y los participantes deberán presentar sus hallazgos. Será necesario para este paso disponer de computadoras (al menos una por grupo de estudiantes).
- Participación: Se valorará la participación activa en las sesiones del curso, incluyendo la participación en discusiones y la interacción con los ejercicios y demostraciones en clase.
Bibliografía:
- Edelsbrunner, Herbert, and John L. Harer. Computational Topology: An Introduction. American Mathematical Society, 2022. (Referencia principal)
- Edelsbrunner, Herbert, and John Harer. Persistent homology—a survey. Contemporary Mathematics. 453.26 (2008): 257-282.
- Carlsson, Gunnar. Topology and data. Bulletin of the American Mathematical Society. 46.2 (2009): 255-308.
- Ghrist, Robert. Barcodes: the persistent topology of data. Bulletin of the American Mathematical Society. 45.1 (2008): 61-75.
- Rabadán, Raúl, and Andrew J. Blumberg. Topological Data Analysis for Genomics and Evolution: Topology in Biology. Cambridge University Press, 2019.
- Boissonnat, Jean-Daniel, Frédéric Chazal, and Mariette Yvinec. Geometric and Topological Inference. Cambridge University Press, 2018.