Representaciones de grupos finitos
Los grupos son objetos básicos de la matemática que aparecen codificando el concepto
de simetría en diversas áreas como ser en soluciones de ecuaciones, en invariantes de geometrías o de estados físicos, entre muchos otros. Desde un principio ha sido de particular interés el estudio de la clasificación de los grupos como así también el de sus aplicaciones.
Una manera de estudiar cómo es un determinado objeto matemático con "estructura", en este caso un grupo, es analizar la forma en que éste actúa sobre determinados conjuntos o, linealizando el problema, sobre espacios vectoriales. Dado un grupo y una acción de éste sobre un espacio vectorial, se tiene pues una representación de dicho grupo.
Mencionado esto, se podría decir que el propósito de la teoría de representaciones de grupos es el de proveer una herramienta con la cual obtener información acerca de los grupos mismos a través de métodos del álgebra lineal (autovalores, espacios producto interno, diagonalización, entre otros).
En este curso introduciremos las principales nociones y resultados de la teoría de representaciones de grupos sobre espacios vectoriales complejos y de la teoría de caracteres, y presentaremos algunas de sus aplicaciones.
Considerando que el estudio de las representaciones de un grupo G se puede interpretar como el de las representaciones de álgebras del álgebra de grupo kG, este curso puede ser considerado como una introducción a la teoría de representaciones de distintas álgebras, como por ejemplo álgebras de Lie, álgebras de Hopf, entre otras.
UNIDAD 1 - Representaciones.
Definiciones y ejemplos básicos. Construcción de representaciones a partir de otras. Representaciones irreducibles y completa reducibilidad. Teorema de Maschke.
UNIDAD 2 - Caracteres.
Teoría de caracteres. Lema de Schur. Relaciones de ortogonalidad entre los caracteres. Descomposición de la representación regular. Cantidad de representaciones irreducibles. Ejemplos: grupos simétricos y grupos dihedrales.
UNIDAD 3 - Aplicaciones
Grafos de Cayley de un grupo. Teorema de Burnside.
UNIDAD 4 - Temas complementarios.
Aplicaciones e implementaciones de rutinas en programas de álgebra discreta computacional: GAP, SAGE, MAGMA.
Requisitos: Conocimientos de álgebra lineal y de teoría de grupos general.
Forma de evaluación: Presentación por escrito de ejercicios que deberán ser resueltos y entregados al final del curso.
Bibliografía:
- G. James and M. Liebeck, Representations and characters of groups. Second edition. Cambridge University Press, New York, 2001. viii+458 pp.
- J.-P. Serre, Linear representations of finite groups. Translated from the second French edition by Leonard L. Scott. Graduate Texts in Mathematics, Vol. 42. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977. x+170 pp.
- C. W. Curtis and I. Reiner, Representation theory of finite groups and associative algebras. Reprint of the 1962 original. AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, 2006. xiv+689 pp.
- W. Fulton and J. Harris, Representation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics, 129. Readings in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 1991. xvi+551 pp.