Deformaciones de álgebras asociativas
En 1964, Gerstenhaber definió un marco teórico para la deformación de las estructuras algebraicas. Es bien sabido que existe una estrecha relación entre las deformaciones de un álgebra A y su cohomología de Hochschild HH(A).
En este curso introduciremos la noción de deformaciones de álgebras en el sentido de Gerstenhaber. Veremos su relación con el complejo de Hochschild y los grupos de cohomología del álgebra original. Presentaremos la estructura de Álgebra de Lie Diferencial Graduada del complejo de Hochschild dada por el corchete de Gerstenhaber y la definición de elementos de Maurer-Cartan. Probaremos la relación entre dichos elementos y las deformaciones del álgebra original. Finalmente introduciremos la noción de Álgebra L_\infty y sus elementos de Maurer-Cartan.
UNIDAD 1 - Definiciones de álgebras y deformaciones. Cohomología de Hochschild de un álgebra. Ejemplos.
UNIDAD 2 - Deformaciones infinitesimales y correspondencia con HH^2(A). Obstrucciones y deformaciones de mayor orden. Rigidez.
UNIDAD 3 - Definición de álgebra de Lie diferencial graduada. Corchete de Gerstenhaber. Ecuación de Maurer-Cartan. Ejemplos.
UNIDAD 4 - Elementos de Maurer Cartan y deformaciones. Clases de equivalencia. Ejemplos.
UNIDAD 5 - Estructuras infinito. Definición de álgebras L_\infty. Ecuación de Maurer Cartan generalizada. Ejemplos y aplicaciones. Resultados para álgebras monomiales.
Requisitos: Conocimientos de estructuras algebraicas.
Forma de evaluación: Entrega de ejercicios seleccionados.
Bibliografía:
- M. Doubek, M. Markl, and P. Zima. Deformation theory (lecture notes), 2007. https://arxiv.org/abs/0705.3719.
- T. F. Fox. An introduction to algebraic deformation theory. Journal of Pure and Applied Algebra, 84(1):17–41, 1993.
- M. Gerstenhaber. The cohomology structure of an associative ring. Annals of Mathematics, 78(2):267–288, 1963.