Pedro Ariel Mamani (Universidad Nacional de Salta)
En una serie de papers que datan de 1986, Hanlon conjeturó que si L pertenece a cierta clase de álgebra de Lie compleja, las cuales incluyen todas las álgebras de Lie semisimples, el álgebra de Lie de Heisenberg y el álgebra de Lie de las matrices triangulares superiores estrictas entonces la homología de el álgebra de Lie L⊗C/(t^(k+1)) está relacionada con la homología de L de una manera natural. Más precisamente, la relación conjeturada es la siguiente:
H_* (L⊗C/(t^(k+1)))≅〖H_* (L)〗^(⊗(k+1))
como espacios vectoriales graduados. Un álgebra de Lie L que satisface la ecuación anterior se dice que tiene la propiedad M.
La propiedad M conjeturada para el álgebra de Lie de Heisenberg de dimensión 2n+1, H_(2n+1) permanece abierta. Esto es incluso así para H_3. En el paper P.Hanlon, Some remarkable combinatorial matrices, J. Combin. Theory Ser. A {\bf 59}(1992), 219-239, pueden verse resultados parciales sobre la conjetura en H_3.
El conjunto {e,f,x} es una base del álgebra de Lie de Heinseberg H_3, donde [e,f]=x es el único corchete no nulo. Una base para L_K≔H_3⊗C/(t^(k+1)) está dada por
β={e_0,e_1,…,e_k,f_0,f_1,…,f_k,x_0,x_1,…,x_k }
dondee_i=e⊗t^i,f_i=f⊗t^i y x_i=x⊗t^i para todo i=0,1,…,k, donde los únicos corchetes no nulos en esta base son:
[e_i,f_j ]=-[f_j,e_i ]=x_(i+j)
para todo i,j tal que i+j≤k.
Si E,F y X denotan los subespacios de L_k generados por los e_i^,s, f_i^,s y x_i^,s, respectivamente. Entonces el álgebra exterior de L_k tiene una N^3-graduación dada por:
∧L_k=⨁_(m,n,p∈N) ∧^m (E)⊗∧^n (F)⊗∧^p (X)
donde ∧^i denota el i-ésimo producto exterior.
Con la doctora Nadina Rojas nos encontramos trabajando con la conjetura de Hanlon sobre el álgebra de Lie de Heisenberg, usando la graduación anterior intentamos encontrar nuevos resultados sobre el álgebra H_3 y H_5.