Biálgebras generalizadas
Una biálgebra es un álgebra asociativa unitaria provista de un coproducto y una aumentación que son morfismos de álgebras. El subespacio de elementos primitivos de una biálgebra es un álgebra de Lie, que determina completamente la estructura del álgebra de Hopf cuando el coproducto es coconmutativo, la característica del cuerpo es $0$ y la biálgebra es conilpotente (eso sucede con las biálgebras graduadas, por ejemplo). El Teorema de Milnor-Moore establece que, bajo las condiciones anteriores, toda biálgebra es el áalgebra universal envolvente de su álgebra de Lie de elementos primitivos.
La pregunta es cuándo, dada una álgebra de cierto tipo existen coproductos que satisfacen una ley distributiva con los productos del álgebra; y cuál es la estructura que encontramos en la parte primitiva.
Un ejemplo clásico es la estructura de biálgebra del espacio de cocadenas singulares de un espacio topológico $X$. Adem‡s del producto shuffle, existe un medio-producto, definido por S. Eilenberg y S. MacLane, que transforma al espacio de cocadenas en una biálgebra dendriforme. Daremos un resultado similar al Teorema de Milnor-Moore en este caso, y los extenderemos a otro tipo de álgebras, las álgebras $B$-infinito.
Finalmente miraremos las biálgebras coPreLie-NAP, y veremos un teorema de estructura en este caso. Un ejemplo importante de este tipo de biálgebra son los caminos cerrados en un grafo.