Teoría extremal de Ehrhart
Clase 1: Aspectos Básicos de Politopos
Teorema de Weyl-Minkowski: Introducción y formulación.
Ejemplos Relevantes de Combinatoria: Estudio de ejemplos significativos.
Estructura de Orden Parcial en las Caras: Análisis y propiedades.
Clase 2: Polinomio de Ehrhart
Triangulaciones: Definición y existencia.
Delta-Vector: Definición y propiedades.
Conexiones con Álgebra Conmutativa: Introducción a anillos de semigrupo e ideales tóricos.
Clase 3: El volumen de un Politopo
Cota fijando Dimensión y Puntos Enteros Interiores: Introducción y ejemplos.
Prueba de Lagarias y Ziegler: Bosquejo de la prueba y sus consecuencias.
Clase 4: Clasificación de Politopos con Pocos Puntos en el Interior
Volumen Máximo con Exactamente un Punto en el Interior: Estudio de casos y demostraciones.
Clase 5: Preguntas abiertas
Uso de SAGE: Ejemplos y aplicaciones.
Conjeturas: Discusión de temas actuales en la teoría.
Bibliografía
Libros
- Triangulations de Jesús A. Loera , Jörg Rambau , y Francisco Santos
- Lectures on polytopes de Gunther Ziegler (poliedros en general)
- Combinatorics and Commutative Algebra de Richard Stanley (toda la parte de algebra commutativa)
- A friendly introduction to Fourier analysis on polytopes de Sinai Robins (por el lado de analisis)
Articulos
- Examples and counterexamples in Ehrhart theory de Luis Ferroni y Akihiro Higashitani. arxiv
- Irrational proofs for three theorems of Stanley de Matt Beck y Frank Sottile. arxiv
Forma de evaluación
Cada clase viene con una sesión de ejercicios.