Paula Mercedes Chiapparoli (Universidad Nacional de Córdoba)
Dado un grupo \(G\) y subconjuntos \(S_\ell\), \(S_r\) y \(S_m\) de \(G\), definimos el grafo bi-Cayley \(BX(G;S_\ell,S_r,S_m)\) como el grafo cuyo conjunto de vértices es \(G\times\{0,1\}\) y tal que los vertices \((h,i)\) y \((g,i)\) forman un lado de \((h,i)\) a \((g,i)\) si \(i=0\) y \(gh^{-1}\in S_\ell\) o si \(i=1\) y \(gh^{-1}\in S_r\); y los vértices \((h,0)\) y \((g,1)\) forman un lado no dirigido si \(gh^{-1}\in S_m\). Estos grafos son mixtos en general, y no dirigidos si \(S_\ell\) y \(S_r\) son simétricos. Generalizamos esta noción para permitir grafos dirigidos mediante la definición de grafos di-Cayleys. Un grafo di-Cayley, denotado por \(DX(G;S_\ell,S_r,S_m)\), es un grafo cuyo conjunto de vértices es \(G\times \{0,1\}\) y tal que dos vértices \((u,i)\) y \((v,j)\) forman un lado de \((u,i)\) a \((v,j)\) si y sólo si ocurre alguna de las siguientes:
\begin{enumerate}
\item[(\(a\))] \: \(i=j=0\) y \(gh^{-1}\in S_\ell\);
\item[(\(b\))] \: \(i=j=1\) y \(gh^{-1}\in S_r\);
\item[(\(c\))] \: \(i=0\), \(j=1\) y \(gh^{-1}\in S_m\);
\item[(\(d\))] \: \(i=1\), \(j=0\) y \(gh^{-1}\in S_m\).
\end{enumerate}
De la misma manera, se definen los bi/di-Cayley sum graphs con \(gh\) en lugar de \(gh^{-1}\) en todos los casos.
Estos grafos se pueden pensar como la unión de dos grafos de Cayley \(X^*(G,S_\ell)\) y \(X^*(G,S_r)\) bajo la acción del conjunto \(S_m\).
Para los bi/di-Cayley (sum) graphs se calcula el espectro a partir de la matriz de adyacencia asociada en el caso en que \(S_\ell\), \(S_r\) y \(S_m\) son subconjuntos cerrados por conjugación. En el caso en que \(S_\ell=S_r\) (mirror bi/di-Cayley (sum) graphs) es posible dar criterios de isospectralidad y equienergía.
En particular, tres familias importantes de mirror bi/di-cayley (sum) graphs (cuando \(S_m=\{e\}\), \(S_m=S_\ell\) o \(S_m=S_\ell\cup\{e\}\)) se pueden escribir como diferentes productos del grafo de Cayley \(X^*(G,S_\ell)\) con el grafo completo (con loops) \(K_2\) (\(\mathring{K_2}\)), lo que facilita el cálculo de la energía y permite dar condiciones específicas de isospcetralidad y equienergía.